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并联机器人具有位姿精度
 
近似点X'与路径上的精确点X″存在偏差, 运用牛顿迭代法进行校正
 
通过数次迭代后, 获得路径上的精确点 (X″, L') , 其终止判别依据为
 
ε为一个很小的正实数, 控制精度为10-4mm。
再以 (X″, L') 为初值, 进行新一轮的预估—校正, 直至t=0求得式 (5) 的解。在路径跟踪过程中, 由于F (X, L) =0结构复杂, 采用差分法计算
 
i, j=1, 2...6, δ为很小的实数, ej为第j个元素为1的6维列向量。
预估—校正法具体流程如图2所示。
输入:畸形矫正前下平台中心点Ob在坐标系{P}中的位置向量为 (x y z) T, 按照XYZ旋转方向得到欧拉角为α、β、γ;
医生临床测得的初始杆长数据li, i=1, 2, ..., 6;
控制精度ε;
同伦参数t=1、步长Δt.
程序:
1) 根据输入参数和式 (5) 得到位姿方程:8) 根据式 (7) 预估得到近似位姿X';
9) 计算误差 ;
10) repeat
11) 根据式 (8) 采用牛顿迭代进行误差校正;
12) 计算误差 ;
13) until终止依据为式 (9)
 
15) if s1<εthen
16) t=t'
17) else
18) 返回步骤10)
19) end if
20) else
21) break并返回路径发散的错误提示
22) end if
23) end for
输出:下平台的最终位姿X*.
4 三维仿真
采用VRML技术, 通过几何造型节点和坐标变换节点对并联机器人及畸形骨段构建整体造型, 进行位姿三维仿真, 并与实际畸形状态做对比, 从而验证了预估—校正算法的正确性。此过程需要将位姿中的角度向量转化为等效轴[x'y'z']及等效角θ。设采用预估—校正法求得下平台的位姿向量为X*=[x1y1z1α1β1γ1]T, 则转化为等效角时得到如下方程。
 
5 实验验证
5.1 评价指标
畸形矫正结果根据人体下肢机械轴标准, 其优先级按照以下顺序: (1) 优:无疼痛, 下肢力线恢复, 无任何残留畸形; (2) 良:偶尔疼痛, 不影响活动, 残留的成角畸形≤5°; (3) 可:轻度疼痛, 不影响一般活动, 非日常活动中很少呈现明显疼痛, 残留成角畸形为6°-10°; (4) 差:明显疼痛, 活动严重受限, 残留成角畸形>10°。
5.2 骨模型实验
以左下肢树脂骨模型为例。图2 (a) 显示矫正前的骨模型畸形状态, 此时各参数数据为:矫正前六根驱动杆初始杆长:180mm, 184mm, 169mm, 168mm, 190mm, 197mm;畸形参数:内侧位移12.9mm, 前部位移15.0mm, 过长11.0mm, 外翻10.0°, 屈曲10.0°;框架参数:上平台中心位于起始点 (全局坐标系下的原点) 前部5.0mm, 上平台中心距离起始点65.0mm。
计算机程序进行数据处理后求得驱动杆最终杆长应为:152mm, 184mm, 172mm, 181mm, 194mm, 173mm。经调整, 畸形状态明显得到改善, 如图2 (b) 所示。并对矫正前后的整体位姿进行三维仿真, 如图4。
按照此方式多次进行不同畸形状态的骨模型复位, 整体矫正效果满意, 矫正后评价指标均处于良及以上, 误差为1.2°和0.8mm, 满足临床应用需求。误差产生原因主要是参数数据测量时的人为误差。
图2 树脂骨模型实验
图2 树脂骨模型实验   下载原图
 
5.3 临床实验
本研究共纳入16例下肢畸形患者资料, 其中有5例表现为四维畸形。16例患者均采用上述并联机器人畸形矫正技术进行治疗, 其中2例在治疗期间出现残余成角畸形6°-10°的情况, 经重新拍摄正侧位X线片测量相关参数后在计算机辅助下获得新的驱动杆调节量, 做出相应调整后完成畸形矫正。最终, 15例患者治疗结束后评价指标为优, 机械轴线恢复, 冠状面及矢状面相对于解剖轴的关节走行方向角处于正常值范围, 步态及症状得以改善, 没有出现伤口感染及并发症。1例患者因治疗期间自主活动等外界因素, 其矢状面相对于解剖轴的关节走行方向角偏离正常值2.1°, 评价指标为良, 偶尔疼痛, 不影响正常活动, 满足临床要求。
典型病例见图4, 男性患者, 7岁, 双下肢內翻O形腿畸形, 如图4 (a) 。首先进行左下肢矫正, 以髌骨朝前位拍摄包括并联机器人及邻近关节的正侧位X线片, 由医生测量图4 (b) 所示正侧位X线片得到畸形参数:内翻20°, 短缩15mm;框架参数:上平台中心位于起始点内侧5mm, 上平台中心位于起始点后部10mm, 上平台中心距离起始点65mm;初始杆长为115mm, 143mm, 167mm, 146mm, 128mm, 123mm。经计算机进行数据处理后得到矫正完成时六根驱动杆杆长应为:139mm, 153mm, 165mm, 152mm, 150mm, 155mm。矫正前后左下肢畸形状态的三维仿真图像如图 (e) 、图4 (f) 所示, 与实际畸形矫正前后状态一致。经调整驱动杆杆长后, 左下肢力线恢复, 外观得到改善, 如图4 (c) 。同样方法矫正右下肢內翻畸形, 矫正结束后, 双下肢等长畸形矫正, 力线恢复正常值, 无并发症发生, 双下肢畸形矫正结果满意, 如图4 (d) 。
图4 位姿三维仿真
图4 位姿三维仿真   下载原图
 
6 结论
上述研究结果验证了并联机器人控制理论方法的正确性和可行性, 应用六自由度并联机器人进行下肢畸形矫正可以安全稳步的实现精确调整。在计算机辅助下提供了客观、可靠、行之有效的数据分析处理方法, 解决了医生主观上无法计算杆长的问题。并且通过虚拟现实技术建立空间位姿三维模型, 使医生能够直观的观察畸形状态, 了解矫正完成时的效果, 便于医生对治疗过程做出预判, 从而调整方案达到最优的疗效。
此技术简化了操作过程。提高了患者在治疗期间的舒适度及肢体功能的生理性恢复。通过拍摄X线片来确认机械轴和关节线的矫正是否达到预期目标, 从而进行逐步矫正。即使出现残余畸形情况也无需进行二次手术, 只需重新拍摄当前畸形状态下的X线片, 测量得到相关数据后输入计算机软件获得新的驱动杆调节量, 并做出相应调整以达到矫正目标。
图4 典型病例
 
 
0 引言
并联机器人具有位姿精度高、累计误差小、动力性能好等优点, 在实际生产应用中弥补了串联机器人的不足, 但是并联机器人复杂的结构特点又制约着其应用潜能和性能[1,2]。运动学和工作空间是并联机器人研究的重点, 也是衡量机器人工作性能的重要指标, 国内外研究学者在机器人运动学和工作空间方面进行了大量的研究。
Mustafa等[3]采用解析法对Delta并联机器人进行运动学正解分析;Hsu等[4]对Delta并联机器人的运动学进行研究, 基于雅可比矩阵基础使用本征椭圆图谱预测工作空间和奇异位形;Angle等[5]对一种基于Delta机构的Robotenis机器人进行了运动学正解分析, 并求出工作空间图谱;李大海等[6]基于螺旋理论对3-RRS球面并联机构的运动学进行分析, 且利用数值搜索法得到机构可达工作空间;杨继东等[7]基于矢量代数法和数值法对Tripod并联机器人进行运动学分析, 利用雅可比矩阵的条件数对其进行运动性能评价, 并分析其工作空间;王霄等[8]对一种Delta型并联机构的机床建立其运动学反解方程和工作空间求解模型, 利用几何分析和数值迭代方法得到并联机构工作空间的完整描述。
本文中我们以一种Tripod并联机器人为研究对象, 先简化模型建立坐标系, 利用几何关系对其运动学反解分析, 再基于反解分析基础求解出运动学正解表达式, 利用MATLAB软件编程验证分析运动学模型的正确性, 最后在运动学分析的基础上对机器人工作空间进行分析。
1 Tripod并联机器人运动学分析
1.1 建立机器人分析模型
研究的Tripod并联机器人结构简图如图1所示, 并联机器人在工作过程中, 通过3个主动臂的协调耦合运动带动动平台的运动, 使得末端执行器根据任务要求在空间中的3个轴向进行运动[9]。
图1 Tripod并联机器人结构简图
图1 Tripod并联机器人结构简图   下载原图
 
采用马娄谢夫空间机构计算式来对Tripod机器人进行自由度分析, 经过分析可知, Tripod机器人具有沿X、Y、Z轴向移动的3个自由度, 如果在动平台上安装电机直接带动末端执行器旋转, 则还具有1个旋转自由度。
建立单支链的机构简图如图2所示, 以定平台、动平台几何中心为坐标原点建立定坐标系O-xyz和动坐标系O'-x'y'z', 且两个坐标系的轴方向一致。其中, 定平台半径为R, 动平台半径为r, 主动臂长度为L1, 从动臂长度为L2, 主动臂与定坐标系中x轴的夹角分别为α1、α2、α3, 主动臂的旋转角度为θi (i=1, 2, 3) 。
图2 简化模型坐标系
图2 简化模型坐标系   下载原图
 
1.2 运动学反解分析
根据上述坐标系可得向量OBi=OAi+AiBi, 其中, i=1, 2, 3。
 
向量AiBi是主动臂轴线方向, 以定坐标系O-xyz为参考坐标系, 则
 
 
同理可得, 从动臂末端C点在动坐标系中可表示为
 
设动平台中心点O&apos;在定坐标系中的位置为 (X, Y, Z) , 则点C在定坐标系O-xyz中可表示为
 
根据模型的几何关系且从动臂的长度为L2, 用等式可表示为
 
将式 (3) 和式 (5) 代入式 (6) 中, 可得主动关节旋转角度θi与点 (X, Y, Z) 的关系为
 
运动学反解分析是根据已知动平台中心O&apos;在定坐标系中的坐标位置 (X, Y, Z) , 求解主动臂的旋转角度θi (i=1, 2, 3) 。将式 (7) 化简可得
 
根据式 (9) 可知, 当确定动平台末端执行器的坐标位置时, 可得主动臂旋转角度具有两个值, 不同的旋转角度值影响着连杆机构之间关系和力学性能, 通过分析且考虑Tripod机器人机构的特点, 结合实际平台关节角的空间约束, 确定最终表达式为