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并联机器人的运动学
 
运动学正解分析
并联机器人的运动学正解分析是已知驱动关节的输入角度求解动平台末端的坐标位置, 位置正解分析和反解分析可以看作是互为相反的过程。
根据式 (6) 和式 (7) 可得
 
通过对式 (12) 做进一步化简合并, 得到式 (14) 即为Tripod并联机器人运动学正解的解析表达式, 经分析可知, 这是一个三元一次方程组, 且各系数已知, 通过求解此方程组可以求得位置解。求解中通过代数解析法求解, 则求解过程繁琐、计算困难, 存在多解问题。文中使用牛顿迭代法的数值方法, 通过位置反解来迭代计算出位置正解。求解流程图如图3所示。
1.4 运动学分析模型验证
经过对Tripod并联机器人的运动学分析, 结合实例来验证分析的可靠性与正确性。Tripod并联机器人的结构参数中定平台半径R为115 mm、动平台半径r为44 mm、主动臂长度L1为220 mm、从动臂长度L2为580 mm。设末端执行器坐标位置 (X, Y, Z) 有3组, 分别为 (-91, -350, 300) 、 (-96, -355, 295) 、 (-102, -345, 305) , 利用上述给出的分析求解方法, 利用MATLAB编程来进行研究分析, 可得如表1所示的反解分析结果。
图3 正解求解算法流程图
图3 正解求解算法流程图   下载原图
 
表1 反解模型验证     下载原表
表1 反解模型验证
经过前文分析, 选择合适的反解值 (θ1, θ2, θ3) 代入运动学正解模型中进行分析, 将 (39.725 4, -51.382 0, 70.806 6) 和 (35.115 3, -50.844 0, 70.002 2) 代入正解解析式中, 通过正解分析模型并利用MATLAB编程计算得动平台中心点的坐标位置分别为 (-91.002 5, -349.988 2, 300.001 7) 、 (-102.003 7, -344.991 0, 305.002 6) , 如表2所示。
表2 正解模型验证     下载原表
表2 正解模型验证
由实验结果可知, 计算所得动平台中心点坐标值与表1中给定坐标值基本一致, 误差值极小, 基本可忽略不计, 即结论验证了本Tripod并联机器人运动学分析模型的正确性。
2 Tripod并联机器人的工作空间分析
2.1 机器人雅可比矩阵及奇异性分析
并联机构的雅可比矩阵与机构的尺寸参数、机构形状、机构位姿相关, 能够反映执行末端的速度与关节速度之间的映射关系。通过对并联机构一个支链约束进行微分得到速度之间的关系, 即雅可比矩阵。
将式 (7) 两边分别对时间t求导, 可得机构末端执行器速度与旋转关节角速度之间的关系为
 
式中, A为机构的正向雅可比矩阵;B为机构的逆向雅可比矩阵。其中
 
整理可得机器人雅可比矩阵为
 
根据并联机构的正/逆雅可比矩阵来分析, 可以将奇异分为3类, 即正运动学奇异、逆运动学奇异和复合奇异。
(1) 正运动学奇异, 即det (A) =0且det (B) ≠0, 此时机构的旋转主动臂处于固定状态, 但是其末端平台仍然可以运动, 机构出现多余的自由度。
(2) 逆运动学奇异, 即det (A) ≠0且det (B) =0, 此时机构的旋转关节有输出, 但是其末端平台无法运动, 机构失去1个或者多个自由度。对于本文中所研究的机构而言, 当矩阵B中对角线的3个元素任何一个为0, 则其处于奇异状态。
(3) 复合奇异, 即det (A) =0且det (B) =0, 此时当机构所有旋转关节被固定, 其末端平台还是可以产生一定的运动;或者当机构的旋转关节在一定的范围内有输出时, 其末端平台保持固定。
上述所有的奇异位形均是由主动臂旋转超过一定角度所产生的, 在实际并联机器人设计中可以通过限制其旋转角度来避免奇异位形的发生。
2.2 工作空间分析
机器人的工作空间指的是, 在约束条件下, 动平台末端执行器在定坐标系中所能达到的所有位置点的集合。工作空间是机器人运动性能的重要指标之一, 决定其执行任务的能力, 把并联机器人运用到工程实际中, 首先考虑的问题就是该机械结构的工作空间情况[10]。
根据运动学分析式 (7) 可得
 
对式 (19) 进行分析可知, 表达式图形是以 ( (Rcosαi+L1cosαicosθi-rcosαi) , (Rsinαi+L1sinαicosθi-rsinαi) , (L1sinθ) ) 为球心的球面, 且可以分析推导出这个工作空间是3个椭圆球包围的体积交集, 如图4所示。
 
代入式 (19) 中, 可得
 
将式 (20) 转化为
 
即Tripod并联机器人的工作空间表示为以Q (X, Y, Z) =0为边界的三维空间, 取定平台半径为115 mm、动平台半径为44 mm、主动臂长度为220 mm、从动臂长度为580 mm, 3个驱动关节两两相隔120°分布, 本文中主动臂旋转角度限制在-60°~80°。根据给定参数条件和约束限制, 在MATLAB中编写相应的程序, 得到图5所示的工作空间图。
图4 3个椭圆球交集的XY面工作空间图
图4 3个椭圆球交集的XY面工作空间图   下载原图
 
通过对图4~图8分析可得, Tripod并联机器人的工作空间形状是一个椭球体, 此工作空间是在全工作空间中通过最大限度去除运动学反解不唯一并结合实际约束所得到的, 在其工作空间内无奇异点, 机器人动平台上末端执行器可以到达空间体积内的任意点位置。其空间体积大小还与结构尺寸参数及主动臂旋转角度有关, 要想获得更大的工作空间, 可以适当增加机械臂尺寸长度和增大关节旋转角度。
图5 机器人工作空间示意图
图5 机器人工作空间示意图   下载原图
 
图6 机器人工作空间XY截面
图6 机器人工作空间XY截面   下载原图
 
图7 机器人工作空间XZ截面
图7 机器人工作空间XZ截面   下载原图
 
图8 机器人工作空间YZ截面
图8 机器人工作空间YZ截面   下载原图
 
3 结论
利用几何分析法对Tripod并联机器人的运动学进行反解分析, 在反解分析的基础上求解出机器人运动学正解的解析表达式, 采用牛顿迭代法的数值方法计算出运动学位置正解, 结合具体实例, 利用MATLAB软件编程来验证运动学分析的可靠性与正确性。
为了进一步研究Tripod机器人的工作性能, 根据运动学反解对机器人的工作空间进行分析, 得知其工作空间是一个椭球体形状, 机器人末端可以在该空间内根据任务要求来运动到指定点。根据机器人雅可比矩阵探讨了机构的3种奇异位形, 分析得知工作空间大小还与结构尺寸参数及主动臂旋转角度有关。本研究的方法和内容, 对应用于生产中的并联机器人的设计有一定的指导作用。
 
 
 
1 引言
Delta型并联机器人[1]是目前工业应用最为广泛的并联机构之一[2].近几年来, 随着工业的快速发展, 并联机器人的研究及应用主要向着轻量化、快速、灵活等趋发展, 尤其是在分拣、装配等重复性的流水作业中最为常见[3], 因此提高工作效率是提高生产效率的重要途径。目前, 带有视觉的Delta并联机器人分拣系统比传统的机器人分拣更能适应复杂的作业环境, 提高生产效率, 改进机器人的适应能力, 是目前分拣路径规划普遍采用的模式, 即并联机器人主要是分拣传送带方向最前方的物料, 未能充分发挥生产自动化的优势。随着智能控制技术的发展, 智能控制算法逐渐应用于工业控制领域, 使其系统性能更加稳定、生产效率显著, 所以引进机器视觉[4]和智能控制算法的并联机器人分拣系统具有广阔的前景。
为了满足当前高速化的生产需求, 提高生产效率, 国内外许多学者对最优时间轨迹规划进行了深入研究, 但是从大多数文献 (如文献[5-6]) 中可以看出, 研究都集中在对单个分拣轨迹的优化, 而在分拣系统中, Delta并联机器人的工作流程是分拣连续不断的物体, 是由无数个拾取轨迹组成的。针对以上问题, 对于排列密集的, 无方向要求的物体实时分拣系统, 本文把分拣作业按照一个抓取过程进行分组处理, 以装满一个包装盒为基准, 提出了一种基于改进神经网络优化算法的分拣路径优化方法, 在保证每个分拣过程的轨迹进行最优化处理的同时, 对处于每一个抓取过程中的所有物体进行基于神经网路的动态目标最短分拣路径的整体路径规划, 并保证实时性;建立并联机器人与周围环境的紧密联系, 主要是为了实时快速抓取操作, 改就系统的适应能力, 提高并联机器人的工作效率。
2 单个分拣轨迹的优化
2.1 研究背景
如图1所示, Delta并联机器人分拣系统主要由视觉部分、机器人抓取部分、传送部分以及控制系统组成。随机分布的物料随着传送带匀速进入到视觉采集区, 工业相机以频率采集物体的图片信息, 然后通过视觉系统对目标物体进行快速标定, 同时利用不重复识别跟踪方法获得禽蛋的坐标信息, 然后将这些信息打包传送给控制系统, 对单个的目标物料进行路径规划, 通过缩短单个物料分拣的时间来提高并联机器人的运行时间。
图1 并联机器人分拣系统结构图
图1 并联机器人分拣系统结构图   下载原图
 
2.2 轨迹优化
分拣作业要求Delta并联机器人的快速高效运行, 因此高速运动的机器人在惯性及外部受力的作用下, 其连杆的变形、位移等因素不仅会影响机构的精度、降低系统运行的稳定性和可靠性, 同时会影响机器人的工作效率和使用寿命。为了保证运行的平稳, 必须对并联机器人的运行空间轨迹进行优化。通过分析分拣系统的运动特点, 文中引用了文献中的方法, 将Delta并联机器人的运动轨迹, 采用圆弧连接直线规划, 将机器人抓取动作分为5个动作流程, 如图2所示, 其中Q0-Q1、Q2-Q3和Q4-Q5采用直线插值, 长度分别为L1、L2、L3, Q1-Q2、Q3-Q4采用圆弧插值, 长度为L4和L5, 总的长度用St表示。
图2 笛卡尔空间轨迹优化
图2 笛卡尔空间轨迹优化